Question

7．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為S_n試比較S_n與6的大�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程即可得到d=q=2，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理可得S_n，再由不等式的性質(zhì)，即可得到S_n與6的大�。�

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
可得$\left\{\begin{array}{l}{1+2d+{q}^{4}=21}\\{1+4d+{q}^{2}=13}\end{array}\right.$，
解得d=q=2，
則a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；
（2）$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-2+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
上面兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=1+2[（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡(jiǎn)可得，S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則S_n＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．