Question

6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²+5n+1（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和B_n滿足B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）將數列{a_n}與{b_n}的公共項，按它們在原數列中的先后順序排成一個新的數列{c_n}，求數列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）可求得a₁=8，a_n=S_n-S_n-1=4n+3；從而以分段形式寫出通項公式即可；
（2）討論可求得數列{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數列，從而可得b_n=3ⁿ，檢驗可得數列{a_n}與{b_n}的第一個公共項為27，第二個公共項為243；從而猜想c_n=3²ⁿ⁺¹，從而再證明即可．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2+5+1=8，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+5n+1）-（2（n-1）²+5（n-1）+1）
=4n+3；
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{4n+3，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）當n=1時，b₁=B₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，解得，b₁=3；
當n≥2時，B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，B_n-1=$\frac{3}{2}$b_n-1-$\frac{3}{2}$；
兩式作差可得，
b_n=3b_n-1，
故數列{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數列，
故b_n=3ⁿ，
檢驗可得，數列{a_n}與{b_n}的第一個公共項為27，第二個公共項為243；
而若n=2m+1，m≥1，
則b_2m+1-3=3^2m+1-3=3（3^2m-1）=3（3^m+1）（3^m-1），
∵3^m+1是偶數，3^m-1是偶數；
∴存在n，使b_2m+1-3=4n，
故b_2m+1=4n+3；
故{c_n}是以27為首項，9為公比的等比數列，
故c_n=27•9^n-1=3²ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及數列的性質的判斷與應用，屬于中檔題．