Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²+5n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n滿足B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）可求得a₁=8，a_n=S_n-S_n-1=4n+3；從而以分段形式寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）討論可求得數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可得b_n=3ⁿ，檢驗(yàn)可得數(shù)列{a_n}與{b_n}的第一個(gè)公共項(xiàng)為27，第二個(gè)公共項(xiàng)為243；從而猜想c_n=3²ⁿ⁺¹，從而再證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2+5+1=8，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+5n+1）-（2（n-1）²+5（n-1）+1）
=4n+3；
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{4n+3，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=B₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，解得，b₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，B_n-1=$\frac{3}{2}$b_n-1-$\frac{3}{2}$；
兩式作差可得，
b_n=3b_n-1，
故數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故b_n=3ⁿ，
檢驗(yàn)可得，數(shù)列{a_n}與{b_n}的第一個(gè)公共項(xiàng)為27，第二個(gè)公共項(xiàng)為243；
而若n=2m+1，m≥1，
則b_2m+1-3=3^2m+1-3=3（3^2m-1）=3（3^m+1）（3^m-1），
∵3^m+1是偶數(shù)，3^m-1是偶數(shù)；
∴存在n，使b_2m+1-3=4n，
故b_2m+1=4n+3；
故{c_n}是以27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，
故c_n=27•9^n-1=3²ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．