Question

1．設D，E分別為線段AB，AC的中點，且$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，記α為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角，則下述判斷正確的是（　�。�

• A． cosα的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． cosα的最小值為$\frac{1}{3}$
• C． sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值為$\frac{8}{25}$
• D． sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值為$\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 由題意利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得 $\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=0，兩個向量的數(shù)量積的定義化簡求得2AB²+2AC²=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，求得cosα≥$\frac{4}{5}$，檢驗各個選項，得出結論．

解答 解：∵D，E分別為線段AB，AC的中點，∴BD CD分別為△ABC的中線．
∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，記α為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{4}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$-2$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-2${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ ）=0，
∴2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2${\overrightarrow{AC}}^{2}$=5$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，即 2AB²+2AC²=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，
∴cosA≥$\frac{4}{5}$，即cosα≥$\frac{4}{5}$，故排除A、B；
∵sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=2cos²α-1≥$\frac{7}{25}$，故排除C；
∵sin（$\frac{π}{2}$-2α）=cos2α=2cos²α-1≥$\frac{7}{25}$，故D滿足條件，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．