Question

15．設(shè)α，β為方程2x²-mx-2=0的兩個根．其中m∈R且α＜β．函數(shù)f（x）=$\frac{4x-m}{{x}^{2}+1}$．
（1）求f（α）•f（β）的值：
（2）求證：函數(shù)f（x）在[α，β]上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （ 1）由題意并根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=$\frac{m}{2}$，αβ=-1，運算可得f（α）•f（β）的值．
（2）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，依據(jù)條件判斷f（x₁）-f（x₂）＜0，從而得到函數(shù)f（x）在[α，β]上為增函數(shù)．

解答 解：（1）由題意可得α+β=$\frac{m}{2}$，αβ=-1，
f（α）•f（β）=$\frac{4α-m}{{α}^{2}+1}•\frac{4β-m}{{β}^{2}+1}$=$\frac{16αβ-4m（α+β）+{m}^{2}}{（αβ）^{2}+（α+β）^{2}-2αβ+1}$=-4．
證明：（2）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）[4{x}_{1}{x}_{2}-4-m（{x}_{2}+{x}_{1}）]}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，
兩式相加可得 2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0．
∵α+β=$\frac{m}{2}$，αβ=-1，
∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₂+x₁）]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[α，β]上為增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及一元二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．