Question

20．如圖：已知矩形ABCD是圓柱OO₁的軸截面，E是下底面圓周上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE⊥平面AEC；
（2）若三棱錐A-BEC的體積與圓柱體OO₁的體積之比為1：6π時(shí)．求∠BCE的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明EC⊥平面ABE，即可證明平面ABE⊥平面AEC；
（2）求出三棱錐A-BEC的體積與圓柱體OO₁的體積，利用比為1：6π，求∠BCE的大小．

解答 （1）證明：∵BC是直徑，
∴EC⊥BE，
∵EC⊥AB，AB∩BE=B，
∴EC⊥平面ABE，
∵EC?平面AEC，
∴平面ABE⊥平面AEC；
（2）解設(shè)BC=2R，∠BCE=α
∵三棱錐A-BEC的體積與圓柱體OO₁的體積之比為1：6π，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BCsinα×BCcosα×AB$：（π×BC²×AB）=1：6π，
∴sin2α=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．