Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+1（n∈N⁺），令b_n=a_n-2
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求b_n．
（2）求通項(xiàng)a_n，并求{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令b_n=a_n-2，a_n=b_n+2，所以b_n+1+2=

bn+2

2

+1=

bn

2

+2，由此能證明{b_n}是首項(xiàng)為-

3

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．由此能求出b_n．
（2）由a_n=b_n+2，能求出通項(xiàng)a_n和{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+1（n∈N⁺），
令b_n=a_n-2，a_n=b_n+2，
∴b_n+1+2=

bn+2

2

+1=

bn

2

+2，
∴b_n+1=

bn

2

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∵b1=a1-2=

1

2

-2=-

3

2

，
∴{b_n}是首項(xiàng)為-

3

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴bn=(-

3

2

)•(

1

2

)n-1=（-3）•（

1

2

）ⁿ．
（2）解：∵a_n=b_n+2，
∴a_n=(-3)•(

1

2

)n+2．
∴S_n=

- 3 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+2n=

3

2n

+2n-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．