Question

設(shè)x、y、z∈R⁺，x²+y²+z²=1，當x+2y+2z取得最大值時，x+y+z=

 

．

Answer 1

考點：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用

專題：選作題,不等式

分析：考慮到應(yīng)用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先構(gòu)造出柯西不等式求出（x+2y+2z）²的最大值，開平方根即可得到答案．

解答： 解：根據(jù)柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）構(gòu)造得：
即（x+2y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+2²）≤1×9=9
故x+2y+3z≤3．當且僅當x=

y

2

=

z

2

=

1

3

時取等號．
∴x+y+z=

5

3

．
故答案為：

5

3

，

點評：此題主要考查柯西不等式的應(yīng)用問題，對于此類題目有很多解法，但大多數(shù)比較繁瑣，而用柯西不等式求解非常簡練，需要同學(xué)們注意掌握．