Question

20．已知函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，且當(dāng)x＞2時(shí)滿足xf′（x）≥2f′（x）+f（x），則（　�。�

• A． 2f（1）＜f（4）
• B． 2f（$\frac{3}{2}$）＞f（3）
• C． f（0）＜4f（$\frac{5}{2}$）
• D． f（1）＜f（3）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論

解答 解：由xf′（x）≥2f′（x）+f（x），
得（x-2）f′（x）-f（x）≥0，
設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，則h′（x）=$\frac{（x-2）f′（x）-f（x）}{（x-2）^{2}}$，
∵（x-2）f′（x）-f（x）≥0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
∵f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（x+2）關(guān)于x=0對(duì)稱，
即f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱，
即f（1）=f（3），故D錯(cuò)誤，
f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），f（0）=f（4），
則h（$\frac{5}{2}$）＜h（3），即$\frac{f（\frac{5}{2}）}{\frac{5}{2}-2}$＜$\frac{f（3）}{3-2}$，即2f（$\frac{3}{2}$）＜f（3），故B錯(cuò)誤，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)不等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．