Question

13．已知a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，則f（x）=log_a（4+3x-x²）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由函數(shù)零點存在性定理求出方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根的范圍，得到a的范圍，由4+3x-x²＞0求出對數(shù)型函數(shù)的定義域，得到內(nèi)函數(shù)t=4+3x-x²的增區(qū)間，再由外函數(shù)y=log_at為定義域內(nèi)的減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）=log_a（4+3x-x²）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根，即為函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x的零點，
∵g（0）=$（\frac{1}{2}）^{0}-0=1＞0$，g（1）=$（\frac{1}{2}）^{1}-1=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x的零點在（0，1）內(nèi)，即方程（$\frac{1}{2}$）^x-x=0的根在（0，1）內(nèi)，
又a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，∴0＜a＜1．
令t=4+3x-x²，由t＞0，解得-1＜x＜4．
函數(shù)t=4+3x-x²的對稱軸方程為x=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x∈（-1，$\frac{3}{2}$]時，內(nèi)函數(shù)t=4+3x-x²為增函數(shù)，
而外函數(shù)y=log_at為定義域內(nèi)的減函數(shù)，
∴f（x）=log_a（4+3x-x²）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：（-1，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．