Question

5．如圖已知：菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點(diǎn)H，G分別是線段EF，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE；
（2）試問在線段EF上是否存在點(diǎn)M，使得MG∥平面AFD，若存在求FM的長并證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在菱形ABEF中，先證AH⊥平面ABCD，可得AH⊥BC；在直角梯形ABCD中，利用勾股定理可證AC⊥CB，即CB⊥平面AHC，從而證明平面AHC⊥平面BCE．
（2）設(shè)線段AD的中點(diǎn)為N，可證四邊形FMGN是平行四邊形，GM∥FN，又FN?平面AFD，可得MG∥平面AFD．

解答 解：（1）證明：在菱形ABEF中，因?yàn)椤螦BE=60°，
所以△AEF是等邊三角形，
又H是線段EF的中點(diǎn)，所以AH⊥EF⇒AH⊥AB，…（1分）
因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，
所以AH⊥平面ABCD，
所以AH⊥BC； …（3分）
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
得到：AC=BC=2$\sqrt{2}$，
從而AC²+BC²=AB²，
所以AC⊥CB，
所以CB⊥平面AHC…（5分），
又BC?平面BCE，
所以平面AHC⊥平面BCE．…（7分）
（2）存在，F(xiàn)M=3，
證明：設(shè)線段AD的中點(diǎn)為N，
則梯形ABCD中，得到：NG∥AB，NG=3，…（9分）
又FM∥AB，F(xiàn)M=3，
所以FM∥NG，F(xiàn)M=NG，
所以四邊形FMGN是平行四邊形，
所以GM∥FN，
又FN?平面AFD，MG∥平面AFD，
所以GM∥平面AFD．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．