Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，長軸的端點為A₁，A₂，動直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓相切于點P，直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，從而求橢圓的方程；
（2）由題意知，A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化簡可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，從而可得3k²+1=m²，P（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），從而化簡求解即可．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），
∴b=1，∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$；
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）證明：由題意知，A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化簡可得，（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∵動直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓相切于點P，
∴△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-3）=0，
∴3k²+1=m²，P（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），
∴k₁+k₂=$\frac{\frac{m}{3{k}^{2}+1}-0}{\frac{-3km}{3{k}^{2}+1}+\sqrt{3}}$+$\frac{\frac{m}{3{k}^{2}+1}-0}{\frac{-3km}{3{k}^{2}+1}-\sqrt{3}}$
=$\frac{m}{-3km+3\sqrt{3}{k}^{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{m}{-3km-3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}$
=$\frac{-6k{m}^{2}}{9{k}^{2}{m}^{2}-3（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
∴$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$=$\frac{-6{m}^{2}}{9{k}^{2}{m}^{2}-3（3{k}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-6}{9{k}^{2}-3{m}^{2}}$=$\frac{-6}{-3}$=2，
故$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{k}$為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關系的應用及判斷，同時考查了學生的化簡運算能力的應用．