Question

12．設(shè)點(diǎn)M是等腰直角三角形ABC的斜邊BA的中點(diǎn)，P是直線BA上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求證：
（1）ME=MF；
（2）ME⊥MF．

Answer 1

分析 （1）以等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以O(shè)A為單位長，以直線OA．OB分別為x軸．y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由此能證明ME=MF．
（2）分別求出ME²+MF²=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，$E{F^2}={x_0}^2+{y_0}^2$，由此能證明ME⊥MF．

解答 證明：（1）如圖，以等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
以O(shè)A為單位長，以直線OA．OB分別為x軸．y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（0，1），$M（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$…（2分）
設(shè)P（x₀，y₀），則有x₀+y₀=1，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴E（x₀，0），F(xiàn)（0，y₀），$ME=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$，$MF=\sqrt{\frac{1}{4}+{{（\frac{1}{2}-{y_0}）}^2}}$，
∵${x}_{0}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-{y}_{0}$，∴ME=MF．…（7分）
（2）∵M(jìn)E²+MF²=（${x}_{0}-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-y₀）²=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，
$E{F^2}={x_0}^2+{y_0}^2$，
∴ME²+MF²=EF²，∴ME⊥MF．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線段長相等和兩直線垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理建立平面直角坐標(biāo)系．