【題目】己知n為正整數(shù),數(shù)列{an}滿足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,設數(shù)列{bn}滿足bn=
(1)求證:數(shù)列{ }為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值:
(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前n項和為Sn , 對任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求滿足條件的所有整數(shù)a1的值.

【答案】
(1)證明:數(shù)列{an}滿足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,

= an+1,即 =2 ,

∴數(shù)列{ }是以a1為首項,以2為公比的等比數(shù)列


(2)解:由(1)可得: = ,∴ =n 4n1

∵bn= ,∴b1= ,b2= ,b3=

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,∴2× = +

= + ,

化為:16t=t2+48,解得t=12或4


(3)解:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,由(2)可得:t=12或4.

①t=12時,bn= = ,Sn= ,

∵對任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

∴8 × ﹣a14n2=16× ,

= ,n=1時,化為:﹣ = >0,無解,舍去.

②t=4時,bn= = ,Sn= ,

對任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

∴8 × ﹣a14n2=16× ,

∴n =4m,

∴a1=2 .∵a1為正整數(shù),∴ = k,k∈N*

∴滿足條件的所有整數(shù)a1的值為{a1|a1=2 ,n∈N*,m∈N*,且 = k,k∈N*}


【解析】(1)數(shù)列{an}滿足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化為: =2× ,即可證明.(2)由(1)可得: = ,可得 =n 4n1 . 數(shù)列{bn}滿足bn= ,可得b1 , b2 , b3 , 利用數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可得出t.(3)根據(jù)(2)的結果分情況討論t的值,化簡8a12Sn﹣a14n2=16bm , 即可得出a1

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