Question

.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，過

原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．若直線斜率為時(shí)，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．    

Answer 1

解：（1）設(shè)，

∵直線斜率為時(shí)，，∴，∴

∴，∵，∴．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（２）以為直徑的圓過定點(diǎn)．

設(shè)，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，∴ ，

直線方程為： ，∴，  

以為直徑的圓為

即， 

∵，∴，

令，，解得，

∴以為直徑的圓過定點(diǎn)．