Question

10．函數f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，關于x的方程（f（x））²+af（x）+b=0（a，b∈R）有如下幾個判斷：
（1）存在實數a，b，使此方程無實數解；
（2）存在實數a，b，使此方程有2個不同的實數解；
（3）存在實數a，b，使此方程有4個不同的實數解；
（4）存在實數a，b，使此方程有6個不同的實數解；
其中正確的判斷個數為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作函數f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的圖象，先判斷方程x²+ax+b=0的解的個數，再利用數形結合判斷f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m的解的個數，從而解得．

解答 解：作函數f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的圖象如下，
，
①當△＜0時，方程x²+ax+b=0無解，
故方程（f（x））²+af（x）+b=0無解，故（1）正確；
②當方程x²+ax+b=0的解為-1或1，即a=0，b=-1時，
（f（x））²+af（x）+b=0可化為f（x）=-1或f（x）=1，
故方程有兩個不同的根，故（2）正確；
③當方程x²+ax+b=0的解在（-1，0），（0，1）之間，
不妨取x=±$\frac{1}{2}$，即a=0，b=-$\frac{1}{4}$時，
（f（x））²+af（x）+b=0可化為f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\frac{1}{2}$，
故方程有四個不同的解；故（3）正確；
④方程x²+ax+b=0至多有兩個解，
f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m至多有兩個解，
故方程至多有四個不同的解，故（4）不正確．
故選：C．

點評 本題考查了方程的根與函數的圖象的關系應用及數形結合的思想應用．