Question

10．函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，關(guān)于x的方程（f（x））²+af（x）+b=0（a，b∈R）有如下幾個(gè)判斷：
（1）存在實(shí)數(shù)a，b，使此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
（2）存在實(shí)數(shù)a，b，使此方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
（3）存在實(shí)數(shù)a，b，使此方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
（4）存在實(shí)數(shù)a，b，使此方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
其中正確的判斷個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的圖象，先判斷方程x²+ax+b=0的解的個(gè)數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合判斷f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m的解的個(gè)數(shù)，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的圖象如下，
，
①當(dāng)△＜0時(shí)，方程x²+ax+b=0無(wú)解，
故方程（f（x））²+af（x）+b=0無(wú)解，故（1）正確；
②當(dāng)方程x²+ax+b=0的解為-1或1，即a=0，b=-1時(shí)，
（f（x））²+af（x）+b=0可化為f（x）=-1或f（x）=1，
故方程有兩個(gè)不同的根，故（2）正確；
③當(dāng)方程x²+ax+b=0的解在（-1，0），（0，1）之間，
不妨取x=±$\frac{1}{2}$，即a=0，b=-$\frac{1}{4}$時(shí)，
（f（x））²+af（x）+b=0可化為f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\frac{1}{2}$，
故方程有四個(gè)不同的解；故（3）正確；
④方程x²+ax+b=0至多有兩個(gè)解，
f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m至多有兩個(gè)解，
故方程至多有四個(gè)不同的解，故（4）不正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．