Question

15．數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n（a_n-n）+1，n∈N₊．
（1）當a₁=2時，求a₂，a₃，a₄，并猜想出a_n的一個通項公式（不要求證）
（2）若a₁≥3，用數(shù)學歸納法證明：對任意的n=1，2，3，…，都有a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接計算a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答 解：（1）a₂=3，a₃=4，a₄=5，猜想a_n=n+1，
（2）證明：①當n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當n=k（k∈N^*）命題成立，則有a_k≥k+2，
當n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥a_k（k+2-k）+1≥2（k+2）+1=2k+5＞k+3，
所以，當n=k+1時結(jié)論成立．
所以由①②可知結(jié)論成立．

點評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項公式的應(yīng)用，數(shù)學歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計算能力與邏輯推理能力．