Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx
（1）求函數(shù)f（x）的值域，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若0＜θ＜

π

6

，且f(θ)=

4

3

，計算cos2θ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)角的范圍，即可求函數(shù)f（x）的值域，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由0＜θ＜

π

6

，f(θ)=

4

3

，可得sin(2θ+

π

6

)=

2

3

，再利用角的變換計算cos2θ的值．

解答： 解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)…（2分）
由于-2≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]…（4分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（6分）
（2）∵0＜θ＜

π

6

，…（8分）
∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

π

2

，
∴cos(2θ+

π

6

)＞0…（10分）
∵f(θ)=

4

3

，
∴sin(2θ+

π

6

)=

2

3

∴cos(2θ+

π

6

)=

5

3

…（11分）
∴cos2θ=cos[(2θ+

π

6

)-

π

6

]…（13分）
=

5

3

×

3

2

+

2

3

×

1

2

=

15 +2

6

…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查角的變換，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．