Question

2．如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，點F是PD中點，$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CD}$（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）當λ=$\frac{1}{2}$時，判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）證明：無論λ取何值，都有AF⊥FE；
（Ⅲ）試探究三棱錐B-AFE的體積是否為定值，若是求出該定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析 （I）當$λ=\frac{1}{2}$時，E為CD的中點，利用中位線定理得出EF∥PC，故EF∥平面PAC；
（II）由PA⊥平面ABCD得CD⊥PA，由CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥AF，由等腰三角形得AF⊥PD，于是AF⊥平面PCD，從而AF⊥EF；
（III）過F作底面ABCD的高線PG，則PG=$\frac{1}{2}AD$為定值，而△ABE的面積也是定值，故而棱錐F-ABE的體積為定值，即棱錐B-AFE的體積是定值．

解答 解：（I）當$λ=\frac{1}{2}$時，EF∥平面PAC．
∵$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，∴E是CD的中點，又F是PD的中點，
∴EF∥PC，
又PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（II）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD?平面PAD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，
∴CD⊥AF，
∵PA=AD，點F是PD中點，
∴AF⊥PD，
又CD?平面PCD，PD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD．∵EF?平面PCD，
∴無論λ取何值，都有AF⊥EF．
（III）作FG∥PA交AD于G，則FG⊥平面ABCD，且FG=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$．
∴V_B-AFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•FG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴三棱錐B-AFE的體積為定值，定值為$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．