Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求三棱錐A-BCP的體積．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC，又BC⊥CD，故BC⊥平面PCD，從而得出BC⊥PC；
（2）以△ABC為底面，則棱錐的高為PD，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PD⊥BC，
∵∠BCD=90°，
∴BC⊥DC，
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥BC．
解：（2）連結AC，
∵AB∥DC，∠BCD=90°，
∴∠ABC=90°．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
∵PD⊥平面ABCD，
∴V_A-BCP=V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于基礎題．