Question

7．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，AH⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，且△PAD為等邊三角形，E是PA的中點，CF=$\frac{1}{4}$CD．
（I）證明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=$\frac{1}{2}$，AD=1，求幾何體PABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB的中點G，連接EG，CG，由三角形中位線定理可得EG∥CF，EG=CF，得到四邊形EFCG為平行四邊形，從而得到EF∥CG，然后由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知求出ABCD為直角梯形的面積，求出面ABCD上的高，然后代入棱錐體積公式求得答案．

解答 證明：（Ⅰ）取PB的中點G，連接EG，CG，
則在△PAB中，EG∥AB，EG=$\frac{1}{2}AB$，
又∵$CF=\frac{1}{4}CD$，且AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴EG∥CD，$EG=\frac{1}{4}CD$，
∴EG∥CF，EG=CF，
∴四邊形EFCG為平行四邊形，
∴EF∥CG，
又EF?平面PBC，CG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC；
解：（Ⅱ）∵AB=$\frac{1}{2}$，AD=1，且ABCD為直角梯形，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×1=\frac{3}{4}$，
取AD的中點H，連接PH，在等邊三角形PAD中，PH⊥AD，
又平面ABCD⊥平面PAD，
且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴PH⊥平面ABCD，且PH=1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PH=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱柱、棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．