Question

5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：$\sqrt{2}$，且△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值是-2．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理求得△ABC為等腰直角三角形，由△ABC的面積為$\frac{1}{2}$，求得三角形的各個邊長，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得要求式子的值．

解答 解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=1：1：$\sqrt{2}$，利用正弦定理可得a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$，
設(shè)a=b=k，則c=$\sqrt{2}$k，∴△ABC為等腰直角三角形，A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$．
且△ABC的面積為$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$•k•k=$\frac{1}{2}$，∴k=1，
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{2}$•1cos$\frac{3π}{4}$+0+1•$\sqrt{2}$•cos$\frac{3π}{4}$=-2，
故答案為：-2．

點評 本題主要考查正弦定理，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．