Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，前n項和為S_n．若a₁=6，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為T_n，求證：$\frac{1}{6}$≤T_n＜$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意確定出等差數(shù)列{a_n}的公差與首項，即可確定出通項公式；
（2）由等差數(shù)列的前n項公式表示出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}，進(jìn)而表示出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為T_n，確定出T_n范圍即可．

解答 （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₁=6，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列，
∴（a₁+6d）²=（a₁+d）（a₁+21d），即（6+6d）²=（6+d）（6+21d），
解得：d=4或d=0（舍去），
則a_n=6+4（n-1）=4n+2（n為正整數(shù)）；
（2）證明：∵S_n=6n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4=2n²+4n=2n（n+2），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
∵$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$＞0，
∴T_n＜$\frac{3}{8}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）＞0，即{T_n}是遞增數(shù)列，
∴T_n≥T₁=$\frac{1}{6}$，
則$\frac{1}{6}$≤T_n＜$\frac{3}{8}$．

點評 此題考查了數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及法則是解本題的關(guān)鍵．