Question

1．設(shè)m＞1，在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值等于2，則m=$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)m＞1，可以判斷直線y=mx的傾斜角位于區(qū)間（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）上，由此判斷出滿足約束條件件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$的平面區(qū)域的形狀，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在直線y=mx與直線x+y=1交點(diǎn)處取得最大值，由此可得關(guān)于m的方程，從而求得m值．

解答 解：∵m＞1，由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

直線y=mx與直線x+y=1交于（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）處取得最大值，
由題意可知$\frac{1+{m}^{2}}{m+1}=2$，又∵m＞1，解得m=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）點(diǎn)取得最大值，并由此列出關(guān)于m的方程是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．