Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x-2x+c（c為常數(shù)），若x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的最大值，得到關(guān)于c的不等式，解出即可、

解答 解：令$g（x）={x^3}-\frac{1}{2}x-2x$，
原命題等價于g（x）＜c²-c在x∈[-1，2]上恒成立；
有${[g（x）]_{max}}＜{c^2}-c$，
求導(dǎo)得：g′（x）=（x-1）（3x+2）列表表如下：

x	-1	$（-1，-\frac{2}{3}）$	$-\frac{2}{3}$	$（-\frac{2}{3}，1）$	1	（1，2）	2
g（x）	$\frac{1}{2}$	↗	$\frac{22}{27}$	↘	$-\frac{3}{2}$	↗	2

由表知函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上的最大值為2，因此，2＜c²-c，
解得：c∈（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．