Question

6．對(duì)于曲線C：$\frac{x^2}{4-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1，給出下面四個(gè)命題：
①曲線C不可能表示橢圓；    
②若曲線C表示雙曲線，則k＜1或k＞4；
③當(dāng)1＜k＜4時(shí)，曲線C表示橢圓；
④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜k＜$\frac{5}{2}$．
其中所有正確命題的序號(hào)為②④．

Answer 1

分析 根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可．

解答 解：①當(dāng)1＜k＜4且k≠2.5時(shí)，曲線表示橢圓，所以①錯(cuò)誤；
②若曲線C表示雙曲線，則（4-k）（k-1）＜0，解得k＜1或k＞4，正確；
③當(dāng)k=2.5時(shí)，4-k=k-1，此時(shí)曲線表示圓，所以③錯(cuò)誤；
④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{4-k＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得1＜k＜2.5，所以④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義是解決本題的關(guān)鍵．