Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過定點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于以其兩個(gè)短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積的2倍．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線x+y+1=0與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，x軸上一點(diǎn)P（m，0），使得∠APB為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積${S_1}=\frac{1}{2}•2a•2b=2ab$，以兩個(gè)短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積${S_2}=\frac{1}{2}•2c•2b=2cb$．由$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，可得a=2c．可設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，代入$（1，\frac{3}{2}）$點(diǎn)代入即可得出．
（II）由∠APB為銳角，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＞0$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{PA}=（{x_1}-m，{y_1}）$，$\overrightarrow{PB}=（{x_2}-m，{y_2}）$，聯(lián)立橢圓方程與直線方程x+y+1=0消去y并整理得7x²+8x-8=0．代入上述不等式解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積${S_1}=\frac{1}{2}•2a•2b=2ab$，
以兩個(gè)短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積${S_2}=\frac{1}{2}•2c•2b=2cb$．
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2ab}{2bc}=\frac{a}{c}=2$，∴a=2c．可設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
代入$（1，\frac{3}{2}）$點(diǎn)可得c²=1．所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（II）由∠APB為銳角，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＞0$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{PA}=（{x_1}-m，{y_1}）$，$\overrightarrow{PB}=（{x_2}-m，{y_2}）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x_1}-m）（{x_2}-m）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{y_1}{y_2}＞0$，
聯(lián)立橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$與直線方程x+y+1=0消去y并整理得7x²+8x-8=0．
∴${x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{8}{7}$，進(jìn)而求得${y_1}{y_2}=-\frac{9}{7}$，
∴${x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{y_1}{y_2}=-\frac{8}{7}-m•（-\frac{8}{7}）+{m^2}-\frac{9}{7}＞0$，
即7m²+8m-17＞0，解之得m的取值范圍$（-∞，\frac{{-4-3\sqrt{15}}}{7}）∪（\frac{{-4+3\sqrt{15}}}{7}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、四邊形面積計(jì)算公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．