Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+e^x（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若曲線f（x）上存在橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C
①證明：△ABC為鈍角三角形；
②試判斷△ABC能否為等腰三角形，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=a+e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+e^x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，由A到B的變化率要小于由B到C的變化率，∠ABC一定是鈍角，由此能證明△ABC為鈍角三角形．
②由于A到B的變化率要小于B到C的變化率，由兩點(diǎn)間距離公式得AB＜BC，從而△ABC不可能等腰三角形．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+e^x（a∈R），
∴f′（x）=a+e^x
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）＞0，函數(shù)無零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=a+e^x=0，得x=ln（-a），
當(dāng)x∈（-∞，ln（-a）），f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln（-a），+∞），f（x）單調(diào)遞增．
f（x）在兩個(gè)零點(diǎn)，則f（ln（-a））=aln（-a）-a＜0，
即ln（-a）-1＞0，a＜-e．
綜上所述，若函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-e）．
（2）①證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+e^x，
對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，
且橫坐標(biāo)依次增大，
由于此函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，
故由A到B的變化率要小于由B到C的變化率，
∴∠ABC一定是鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．
②解：△ABC不可能等腰三角形．
理由如下：
由于A到B的變化率要小于B到C的變化率，
由兩點(diǎn)間距離公式得AB＜BC，
∴△ABC不可能等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用