Question

某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖．其中成績分組區(qū)間如下：

組號(hào)	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組
分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生進(jìn)行試卷分析，求第3、4、5組各抽取多少名學(xué)生？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被面試的概率？

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,分層抽樣方法,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)所有概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；
（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)組的總?cè)藬?shù)和要抽取的人數(shù)，做出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，利用概率分別乘以三個(gè)組的人數(shù)，得到每一個(gè)組要抽取的人數(shù)，得到結(jié)果．
（Ⅲ）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有C₆²種滿足條件的事件是第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試有C₂¹C₄¹+1種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．

解答： 解：（I）由題意得10a+0.1+0.2+0.3+0.35=1，
所以a=0.005．…（2分）
（Ⅱ）由直方圖，得：
第3組人數(shù)為0.3×100=30人，
第4組人數(shù)為0.2×100=20人，
第5組人數(shù)為0.1×100=10人．
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，
每組分別為：第3組：3人，第4組：2人，第5組：1人．
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．      …（7分）
（Ⅲ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有C₆²=15種
滿足條件的事件是第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試有C₂¹C₄¹+1=9種結(jié)果，
∴其中第4組的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為

9

15

=

3

5

 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率公式．考查分層抽樣方法，本題好似一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題目，題目的運(yùn)算量適中，是一個(gè)比較好的題目．