【題目】定義:如果函數f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿足 , ,則稱函數f(x)是[a,b]上的“雙中值函數”.已知函數f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上的“雙中值函數”,則實數a的取值范圍是( )
A.(,
)
B.(,3)
C.( , 1)
D.( , 1)
【答案】C
【解析】解:由題意可知,∵f(x)=x3﹣x2+a,f′(x)=3x2﹣2x
在區(qū)間[0,a]存在x1 , x2(a<x1<x2<b),
滿足f′(x1)=f′(x2)==a2﹣a,
∵f(x)=x3﹣x2+a,
∴f′(x)=3x2﹣2x,
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間(0,a)有兩個不相等的解.
令g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a,(0<x<a)
則 ,
解得; .
∴實數a的取值范圍是( , 1)
故選:C
【考點精析】認真審題,首先需要了解導數的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當點趨近于
時,直線
與曲線相切.容易知道,割線
的斜率是
,當點
趨近于
時,函數
在
處的導數就是切線PT的斜率k,即
).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓為參數
和直線
其中
為參數,
為直線
的傾斜角
.
(1)當時,求圓上的點到直線
的距離的最小值;
(2)當直線與圓
有公共點時,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓
過點
,離心率為
,
,
是橢圓
的長軸的兩個端點(
位于
右側),
是橢圓在
軸正半軸上的頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在經過點且斜率為
的直線
與橢圓
交于不同兩點
和
,使得向量
與
共線?如果存在,求出直線方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知為直角坐標系的坐標原點,雙曲線
上有一點
(
),點
在
軸上的射影恰好是雙曲線
的右焦點,過點
作雙曲線
兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線的交點分別為
,
,若平行四邊形
的面積為1,則雙曲線的標準方程是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設a,b∈R,ab≠0,給出下面四個命題:①a2+b2≥﹣2ab;② ≥2;③若a<b,則ac2<bc2;④若
.則a>b;其中真命題有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某服裝銷售公司進行關于消費檔次的調查,根據每人月均服裝消費額將消費檔次分為0-500元;500-1000元;1000-1500元;1500-2000元四個檔次,針對兩類人群各抽取100人的樣本進行統(tǒng)計分析,各檔次人數統(tǒng)計結果如下表所示:
0~ 500元 | 500~ 1000元 | 1000~ 1500元 | 1500~ 2000元 | |
A類 | 20 | 50 | 20 | 10 |
B類 | 50 | 30 | 10 | 10 |
月均服裝消費額不超過1000元的人群視為中低消費人群,超過1000元的視為中高收入人群.
(Ⅰ)從類樣本中任選一人,求此人屬于中低消費人群的概率;
(Ⅱ)從兩類人群中各任選一人,分別記為甲、乙,估計甲的消費檔次不低于乙的消費檔次的概率;
(Ⅲ)以各消費檔次的區(qū)間中點對應的數值為該檔次的人均消費額,估計兩類人群哪類月均服裝消費額的方差較大(直接寫出結果,不必說明理由).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】命題p:函數y=log2(x2﹣2x)的單調增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數y=的值域為(0,1),下列命題是真命題的為( )
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(¬q)
D.¬q
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