Question

10．定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的平行直線(xiàn)y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得賊x∈D時(shí)，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在D內(nèi)有一個(gè)寬度為d的通道，則下列函數(shù)：
①f（x）=x²②f（x）=$\frac{sinx}{x}$③f（x）=2^x④f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$在區(qū)間[4，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為1的通道的函數(shù)有②④．

Answer 1

分析 通過(guò)當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，f（x）∈[16，+∞），即可判斷①的正誤．
f（x）=$\frac{sinx}{x}$，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，判斷函數(shù)f（x）在[4，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為1的通道，判斷②的正誤．
對(duì)于③，當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，確定函數(shù)的值域，2^x≥16，即可判斷③的正誤；
對(duì)于④，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示雙曲線(xiàn)x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=x，可取另一直線(xiàn)，滿(mǎn)足在[4，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道；

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一個(gè)寬度為1的通道；∴①不正確．
對(duì)于②，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，對(duì)于任意給定的正數(shù)x，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)4，使得函數(shù)f（x）在[4，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為1的通道，故f（x）在正無(wú)窮處有永恒通道；∴②正確．
對(duì)于③，當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，2^x≥16，故在[4，+∞）沒(méi)有一個(gè)寬度為1的通道，∴③不正確．
對(duì)于④，當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示雙曲線(xiàn)x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=x，故可取另一直線(xiàn)為y=x-1，滿(mǎn)足在[4，+∞）有一個(gè)寬度為1的通道；∴④正確．
正確結(jié)果為：②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的重點(diǎn)是對(duì)新定義的理解，解題的關(guān)鍵是通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，找出滿(mǎn)足題意的函數(shù)．