Question

20．ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC將△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F(xiàn)是AD′的中點，E是AC上的一點，給出下列結論：
①存在點E，使得EF∥平面BCD′；
②存在點E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在點E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在點E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正確結論的序號是①③．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 ①存在AC中點E，則EF∥CD′，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；
②若EF⊥平面ABD′，則平面ADC⊥平面ABD′，顯然不成立；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性質，可得D′E⊥平面ABC；
④因為ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一點，所以不存在點E，使得AC⊥平面BD′E．

解答 解：①存在AC中點E，則EF∥CD′，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正確；
②若EF⊥平面ABD′，則平面ADC⊥平面ABD′，顯然不成立，故不正確；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性質，可得D′E⊥平面ABC，正確；
④因為ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一點，所以不存在點E，使得AC⊥平面BD′E，故不正確；
故答案為：①③．

點評 本題考查線面平行的判定，考查面面垂直的性質，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．