Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）易得c=0，設這二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），根據(jù)導函數(shù)求得f（x）的表達式，
（2）根據(jù)點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)，y=f（x）的圖象上，求出a_n的遞推關系式，
（Ⅱ）把（1）題中a_n的遞推關系式代入b_n，根據(jù)裂項相消法求得T_n，最后解得使得得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答：解：（1）易得c=0，設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，則f'（x）=2ax+b．…（1分）
由于f'（x）=6x-2，得：a=3，b=-2…（2分）
所以f（x）=3x²-2x．…（3分）
（2）由點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，又f（x）=3x²-2x，
所以Sn=3n2-2n．…（4分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；…（6分）
當n=1時，a1=S1=3×12-2=5．…（7分）
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）…（8分）
（3）由（2）得知bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)[6(n+1)-5]

=

3

(6n-5)(6n+1)

…（9分）
=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…（11分）
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]
=

1

2

(1-

1

6n+1

)．…（12分）
要使Tn=

1

2

(1-

1

6n+1

)=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜f（x）（[1，e]）成立，需要滿足

3

2

≤a，…（13分）
即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10．…（14分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力．