Question

2．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：
①sin²13°+cos²17°-sin 13°cos 17°；
②sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°；
③sin²18°+cos²12°-sin 18°cos 12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos （-48°）；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos （-55°）．
（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 方法一：（1）選擇②式，由倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可得解．（2）發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$，由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用展開即可證明．
方法二：（1）同方法一．（2）發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．由降冪公式，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用展開即可證明．

解答 （本小題滿分12分）
解：方法一：（1）選擇②式，計(jì)算如下：
sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin 30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$…（4分）
（2）三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
證明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=sin²α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）²-sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$…（12分）
方法二：（1）同方法一．
（2）三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
證明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos?60°-2α?}{2}$-sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos 2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{1}{4}$（1-cos 2α）
=1-$\frac{1}{4}$cos 2α-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos 2α=$\frac{3}{4}$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，歸納推理，屬于基本知識的考查．