Question

17．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值；
（Ⅱ）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|對(duì)任意a，b恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$，由基本不等式可得；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為|2x-1|-|x+1|≤9，去絕對(duì)值化為不等式組，解不等式組可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$
≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9；
（Ⅱ）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|對(duì)任意a，b恒成立，
則需|2x-1|-|x+1|≤9，可轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-（2x-1）+（x+1）≤9}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）≤9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜\frac{1}{2}}\\{-（2x-1）-（x+1）≤9}\end{array}\right.$，
分別解不等式組可得-7≤x≤-1，$\frac{1}{2}$≤x≤11，-1＜x＜$\frac{1}{2}$
綜合可得x的取值范圍為[-7，11]

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立和絕對(duì)值不等式，屬中檔題．