Question

11．求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合．并寫出最大值是什么；同時(shí)指出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．
 （1）y=cos$\frac{x}{3}$；
（2）y=2-sin2x．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的周期性和圖象，結(jié)合圖象可得．

解答 解：（1）由$\frac{x}{3}$=2kπ可得x=6kπ，k∈Z，
∴y=cos$\frac{x}{3}$取得最大值的自變量x的集合為{x|x=6kπ，k∈Z}，最大值為1；
令$\frac{x}{3}$=kπ可得x=3kπ，k∈Z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=3kπ，k∈Z；
令$\frac{x}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=3kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（3kπ+$\frac{3π}{2}$，0）k∈Z；
（1）由2x=2kπ-$\frac{π}{2}$可得x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴y=2-sin2x取得最大值的自變量x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z}，最大值為3；
令2x=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
令2x=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$，2）k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦函數(shù)的最值和對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．