Question

2．已知曲線f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+3x-$\frac{5}{6}$（a＞-2）在點（1，f（1））處的切線l與坐標軸轉(zhuǎn)成的三角形的面積為$\frac{2}{5}$．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若a＞0，且對?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，分別令x=0，y=0，求得與x，y軸的交點，運用三角形的面積公式，解方程可得a的值；
（2）對?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，即為（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max＜$\root{3}{m}$，由f（x）在[-1，1]遞增，可得最值，進而得到（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+3x-$\frac{5}{6}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+2ax+3，
在點（1，f（1））處的切線斜率為4+2a，切點為（1，a+$\frac{5}{2}$），
即有在點（1，f（1））處的切線方程為y-（a+$\frac{5}{2}$）=（4+2a）（x-1），
令x=0，得y=-a-$\frac{3}{2}$；由y=0，得x=$\frac{a+\frac{3}{2}}{4+2a}$，
則有三角形的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{（a+\frac{3}{2}）^{2}}{2a+4}$=$\frac{2}{5}$，
解方程可得a=$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{19}{10}$；
（2）對?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，
即為（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max＜$\root{3}{m}$，
由f′（x）=x²+x+3＞0，即f（x）在[-1，1]遞增，
即有f（x）的最大值為f（1）=3，最小值為f（-1）=-$\frac{11}{3}$，
可得f（x₁）-f（x₂）≤3-（-$\frac{11}{3}$）=$\frac{20}{3}$，
即有（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max=${2}^{\frac{20}{3}-6}$=${2}^{\frac{2}{3}}$，
即${2}^{\frac{2}{3}}$＜$\root{3}{m}$，解得m＞4．
則m的取值范圍是（4，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查單調(diào)性的運用，屬于中檔題．