Question

16．函數(shù)f（x）（x∈R）關(guān)于（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，且f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）則下列結(jié)論：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函數(shù)，（3）f（x）關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對稱，（4）f（x）關(guān)于（$\frac{9}{4}$，0）對稱，正確的有（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 由“f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）可得周期為3，由“函數(shù)f（x）（x∈R）關(guān)于（-$\frac{3}{4}$，0）對稱”可得y=f（x）的對稱性，然后兩者結(jié)合以及利用代數(shù)變換或圖象變換對四個選項做出判斷．

解答 解：∵對任意的x∈R，函數(shù)f（x）滿足條件f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x+3）=f（x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），∴f（x）的最小正周期是3，故（1）正確；
∵函數(shù)f（x）（x∈R）關(guān)于（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，∴f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），∴f（x）=-f（x-$\frac{3}{2}$）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
∴y=f（x）是偶函數(shù)，故（2）正確；
∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（-x+$\frac{3}{2}$）=-f（-x）=-f（x），∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（-x+$\frac{3}{2}$），∴f（x）關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對稱，故（3）正確；
∵函數(shù)f（x）（x∈R）關(guān)于（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，f（x）的最小正周期是3，∴f（x）關(guān)于（$\frac{9}{4}$，0）對稱，正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點評 本題綜合考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，因為沒有具體的解析式，所以準確理解每個關(guān)系式的意義是解題關(guān)鍵，能結(jié)合圖象理解的盡量結(jié)合圖象，使問題直觀化，具體化．