【題目】設(shè)fk(n)為關(guān)于n的k(k∈N)次多項(xiàng)式.?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn . 對(duì)于任意的正整數(shù)n,an+Sn=fk(n)都成立. (Ⅰ)若k=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)試確定所有的自然數(shù)k,使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列.
【答案】解:(Ⅰ)證明:若k=0,則fk(n)即f0(n)為常數(shù), 不妨設(shè)f0(n)=c(c為常數(shù)).
因?yàn)閍n+Sn=fk(n)恒成立,所以a1+S1=c,c=2a1=2.
而且當(dāng)n≥2時(shí),
an+Sn=2,①
an﹣1+Sn﹣1=2,②
①﹣②得 2an﹣an﹣1=0(n∈N,n≥2).
若an=0,則an﹣1=0,…,a1=0,與已知矛盾,所以an≠0(n∈N*).
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為 的等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:(1)若k=0,由(Ⅰ)知,不符題意,舍去.
⑵若k=1,設(shè)f1(n)=bn+c(b,c為常數(shù)),
當(dāng)n≥2時(shí),an+Sn=bn+c,③
an﹣1+Sn﹣1=b(n﹣1)+c,④
③﹣④得 2an﹣an﹣1=b(n∈N,n≥2).
要使數(shù)列{an}是公差為d(d為常數(shù))的等差數(shù)列,
必須有an=b﹣d(常數(shù)),
而a1=1,故{an}只能是常數(shù)數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=1(n∈N*),
故當(dāng)k=1時(shí),數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=1(n∈N*),
此時(shí)f1(n)=n+1.
⑶若k=2,設(shè)f2(n)=pn2+qn+t(a≠0,a,b,c是常數(shù)),
當(dāng)n≥2時(shí),
an+Sn=pn2+qn+t,⑤
an﹣1+Sn﹣1=p(n﹣1)2+q(n﹣1)+t,⑥
⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p(n∈N,n≥2),
要使數(shù)列{an}是公差為d(d為常數(shù))的等差數(shù)列,
必須有an=2pn+q﹣p﹣d,且d=2p,
考慮到a1=1,所以an=1+(n﹣1)2p=2pn﹣2p+1(n∈N*).
故當(dāng)k=2時(shí),數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,
其通項(xiàng)公式為an=2pn﹣2p+1(n∈N*),
此時(shí)f2(n)=an2+(a+1)n+1﹣2a(a為非零常數(shù)).
⑷當(dāng)k≥3時(shí),若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù),
則an+Sn的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2,
故數(shù)列{an}不能成等差數(shù)列.
綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時(shí),數(shù)列{an}能成等差數(shù)列
【解析】(Ⅰ)若k=0,不妨設(shè)f0(n)=c(c為常數(shù)).即an+Sn=c,結(jié)合數(shù)列中an與 Sn關(guān)系 求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后再證明.(Ⅱ)由特殊到一般,實(shí)質(zhì)上是由已知an+Sn=fk(n) 考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解,以及等差數(shù)列的判定.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐,底面為菱形,,
, 平面, 分別是的中點(diǎn)。
(1)證明: ;
(2)若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角
的正切值為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí),求的值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)f(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1在區(qū)間(0,2)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,離心率為,軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)若對(duì)于直線,橢圓上總存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱,且,求
實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足a1= ,2Sn﹣SnSn﹣1=1(n≥2).
(1)猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)設(shè)bn= ,n∈N* , 求bn的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了估計(jì)某人的射擊技術(shù)情況,在他的訓(xùn)練記錄中抽取50次檢驗(yàn),他的命中環(huán)數(shù)如下:10,5,5,8,7,8,6,9,7,8,6,6,5,6,7,8,10,9,7,9,8,7,6,5,9,9,8,8,5,8,6,7,6,9,6,8,8,8,6,7,6,8,107,10,8,7,7,9,5
(1)列出頻率分布表
(2)畫出頻率分布的直方圖.
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【題目】為迎接黨的“十九”大的召開,某校組織了“歌頌祖國(guó),緊跟黨走”黨史知識(shí)競(jìng)賽,從參加考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,將其成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為整數(shù))分成六段, ,…, 后繪制頻率分布直方圖(如下圖所示)
(Ⅰ)求頻率分布圖中的值;
(Ⅱ)估計(jì)參加考試的學(xué)生得分不低于80的概率;
(Ⅲ)從這50名學(xué)生中,隨機(jī)抽取得分在的學(xué)生2人,求此2人得分都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】記f(x)=|log2(ax)|在x∈[ ,8]時(shí)的最大值為g(a),則g(a)的最小值為( )
A.
B.2
C.
D.4
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