Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)bn= ，n∈N* ， 求bn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），

∴2S2=S2S1+1= S2+1，

∴S2= ；

∴2S3=S3S2+1= S3+1，

∴S3= ；

由S1= ，S2= ，S3= ，可猜想Sn= ；

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，S1= ，等式成立；

②假設(shè)n=k時(shí)，Sk= ，

則n=k+1時(shí)，∵2Sk+1=Sk+1Sk+1= Sk+1+1，

∴（2﹣ ）Sk+1=1，

∴Sk+1= = ，

即n=k+1時(shí)，等式也成立；

綜合①②知，對任意n∈N*，均有Sn=

（2）解：由（1）可知，n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ，

當(dāng)n=1時(shí)，a1= = 滿足上式，

∴an= ，

∴bn= = = ，n∈N*，

設(shè)f（n）=x+ ，則有f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）為增函數(shù)，

∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，

∴當(dāng)n=5或n=6時(shí)，bn有最大值

【解析】（1）由S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），通過計(jì)算可求得S1 ， S2 ， S3；可猜想Sn= ，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．（2）求出bn= ，n∈N*，構(gòu)造函數(shù)f（n）=x+ ，則利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．