Question

14．已知實數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0，$\frac{y}{x-5}$的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$和最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設(shè)$\frac{y}{x-5}$=k，進而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx-5k的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值

解答 解：方程x²+y²-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
設(shè)$\frac{y}{x-5}$=k，即y=kx-5k，
由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx-5k的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，
由$\frac{|2k-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=$\frac{1}{2}$．
∴k_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_min=--$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$\frac{y}{x-5}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查代數(shù)式的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時要注意直線與圓的位置關(guān)系，以及斜率的計算公式的合理運用．