Question

10．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}，其中，${a_n}=\frac{1}{{2（{1+2+3+…+n}）}}$，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有$1+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜\frac{m-8}{4}$恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n{a_n}}}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列前n項和公式和等比數(shù)列性質(zhì)能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)f（n）=1+$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}$，由等比數(shù)列前n項和公式求出f（n）=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，$f（n+1）-f（n）=\frac{1}{{2}^{n+1}}$＞0，從而f（n）＜2，由此能求出m的最小值．
（3）由已知得數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n+1，n為奇數(shù)}\\{{2^n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，由此利用分類討論思想能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}、{b_n}，其中，${a_n}=\frac{1}{{2（{1+2+3+…+n}）}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2×\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2ⁿ．
（2）設(shè)f（n）=1+$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+…+\frac{1}{_{n}}$，
則f（n）=$（\frac{1}{2}）^{0}+（\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n}$
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$f（n+1）-f（n）=\frac{1}{{2}^{n+1}}$＞0，
∵f（n）在n∈N⁺，n≥2時單調(diào)遞增，
∴f（n）＜2，
∵存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有$1+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜\frac{m-8}{4}$恒成立，
∴$\frac{m-8}{4}≥2，m≥16$，
解得m的最小值為16．
（3）∵數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n{a_n}}}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
∴${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n+1，n為奇數(shù)}\\{{2^n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，${T_n}=（\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{3{a_3}}}+…+\frac{1}{{n{a_n}}}）+（{b_2}+{b_4}+…+{b_{n-1}}）$
=[2+4+…+（n+1）]+（2²+2⁴+…+2^n-1）
=$\frac{2+n+1}{2}•\frac{n+1}{2}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n-1}{2}}}）}}{1-4}$
=$\frac{{{n^2}+4n+3}}{4}+\frac{4}{3}（{2^{n-1}}-1）$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，${T_n}=[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{3{a_3}}}+…+\frac{1}{{（n-1）{a_{n-1}}}}]+（{b_2}+{b_4}+…+{b_n}）$
=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=$\frac{2+n}{2}•\frac{n}{2}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n}{2}}}）}}{1-4}$=$\frac{{{n^2}+2n}}{4}+\frac{4}{3}（{2^n}-1）$．
因此${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{n^2}+4n+3}}{4}+\frac{4}{3}（{2^{n-1}}-1），n為奇數(shù)}\\{\frac{{{n^2}+2n}}{4}+\frac{4}{3}（{2^n}-1），n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的最小值的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用，注意分類討論思想的合理運用．