Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，S₄=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)P_n=a₁+a₄+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+…+a_2n+8，試比較P_n與Q_n的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）由數(shù)列{a_3n-2}是首項(xiàng)為2，公差為3d=9的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得P_n=

9

2

n2-

5

2

n．由于數(shù)列{a_2n+8}是首項(xiàng)為a₁₀=29，公差為2d=6的等差數(shù)列，同理可得Q_n=3n²+26n．作差對(duì)n分類討論，即可比較P_n與Q_n的大小關(guān)系．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=2，S₄=26，
∴4×2+

4×3

2

d=26，解得d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）∵數(shù)列{a_3n-2}是首項(xiàng)為2，公差為3d=9的等差數(shù)列，
∴P_n=a₁+a₄+…+a_3n-2=2n+

n(n-1)

2

×9=

9

2

n2-

5

2

n．
∵數(shù)列{a_2n+8}是首項(xiàng)為a₁₀=29，公差為2d=6的等差數(shù)列，
∴Q_n=a₁₀+a₁₂+…+a_2n+8=29n+

n(n-1)

2

×6=3n²+26n．
∴P_n-Q_n=

9

2

n2-

5

2

n-（3n²+26n）=

3

2

n(n-19)．
∴當(dāng)1≤n≤18時(shí)，P_n＜Q_n；
當(dāng)n=19時(shí)，P_n=Q_n；
當(dāng)n＞19時(shí)，P_n＞Q_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．