Question

已知x∈R，定義：A（x）表示不大于x的最大整數(shù)，如A（

3

）=1，A（-0.4）=-1，A（-1.1）=-2，
（1）試寫出A（x）的解析式；
（2）A（2x+1）=3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

 

；
（3）求滿足條件A²（x）+A²（y）≤1的點(diǎn)（x，y）所構(gòu)成的平面區(qū)域的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言即可；
（2）根據(jù)（1），所求即解不等式3≤2x+1＜4；
（3）將滿足條件[x]²+[y]²≤1的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域表達(dá)出來即可．

解答： 解：（1）根據(jù)定義，有
A(x)=

k k≤x＜k+1 -k -k≤x＜-k+1

    （其中k為非負(fù)整數(shù)）；
（2）根據(jù)（1），所求即解不等式3≤2x+1＜4，
解得1≤x＜

3

2

；
（3）當(dāng)0≤x＜1，0≤y＜1時(shí)，[x]=0，[y]=0，滿足條件[x]²+[y]²≤1；
當(dāng)0≤x＜1，1≤y＜2時(shí)，[x]=0，[y]=1，滿足條件[x]²+[y]²≤1；
當(dāng)0≤x＜1，-1≤y＜0時(shí)，[x]=0，[y]=-1，滿足條件[x]²+[y]²≤1；
當(dāng)-1≤x＜0，0≤y＜1時(shí)，[x]=-1，[y]=0滿足條件[x]²+[y]²≤1；
當(dāng)1≤x＜2，0≤y＜1時(shí)，[x]=0，[y]=1滿足條件[x]²+[y]²≤1；
所以滿足條件[x]²+[y]²≤1的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域是五個(gè)邊長為1的正方形，其面積為S=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)知識(shí)及解不等式、區(qū)域面積的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的新定義，確定平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．