Question

16．若二項(xiàng)式（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x^2}+\frac{1}{x}$）⁶的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為m，則$\int\begin{array}{l}m\\ 1\end{array}（{x^2}-2x）dx$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 運(yùn)用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理，令x的次數(shù)為0，求出m，再由定積分的運(yùn)算法則，即可求得．

解答 解：二項(xiàng)式（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x^2}+\frac{1}{x}$）⁶的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{6-r}{x}^{12-3r}$，
令12-3r=0，則r=4．
即有m=${C}_{6}^{4}•（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$=3．
則$\int\begin{array}{l}m\\ 1\end{array}（{x^2}-2x）dx$=${∫}_{1}^{3}$（x²-2x）dx=（$\frac{1}{3}$x³-x²）${|}_{1}^{3}$=$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：求特定項(xiàng)，同時(shí)考查定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．