Question

20．在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且AB=1，EF=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{5}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的加法表示出向量$\overrightarrow{EF}$：$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$，根據(jù)已知條件有$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$，所以對(duì)上面兩等式相加得$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$，兩邊平方即可出現(xiàn)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$并將其求出．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$；
所以根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，兩式相加得：
$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$；
等式兩邊平方得$4{\overrightarrow{EF}}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+{\overrightarrow{DC}}^{2}$；
∴$8=1+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+5$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，要求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$而先去構(gòu)造出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$的方法．