Question

5．已知α∈（-$\frac{π}{4}$，0），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，則cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可求α+β，β-$\frac{π}{4}$的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（α+β），sin（β-$\frac{π}{4}$）的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可化簡計算cos（α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵α∈（-$\frac{π}{4}$，0），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α+β∈（$\frac{π}{4}$，π），β-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）
=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]
=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）
=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$
=$\frac{16}{65}$．
故答案為：$\frac{16}{65}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角是三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．