Question

11．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC，M為AD上一點(diǎn)且AM=2DM．
（1）求證：AC⊥平面DEF；
（2）求證：BM∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)H，要證明AC⊥平面DEF，可先證DE⊥AC，再證明EF⊥AC即可．
（2）先證明MH∥DF，又EF∥BH，EF∩DF=F，BH∩MH=H，從而可證平面DEF∥平面MHB，即可證明BM∥平面DEF．

解答 證明：（1）取AC的中點(diǎn)H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（2）∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，
∴AD=BC，
∵M(jìn)為AD上一點(diǎn)且AM=2DM．F在棱AC上，且AF=3FC，且H為AC的中點(diǎn)，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{AH}{HF}$=2，
∴MH∥DF，
又∵EF∥BH，EF∩DF=F，BH∩MH=H，
∴平面DEF∥平面MHB，
∴BM∥平面DEF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．