Question

3．在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=6，AA′=8，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，P是CC₁的中點．
（Ⅰ）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA'}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）求AP的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據向量加法、數乘的幾何意義和相等向量的概念便可以得出$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）${\overrightarrow{AP}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}）^{2}$，這樣根據條件進行數量積的計算便可求出${\overrightarrow{AP}}^{2}$的值，從而便可得出AP的長度．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC′}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$；
（Ⅱ）根據條件，${\overrightarrow{AP}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}）^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AA′}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AA′}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AA′}$
=16+36+16+0+16+24
=108；
∴$|\overrightarrow{AP}|=6\sqrt{3}$．

點評 考查向量的加法和數乘的幾何意義，相等向量的概念，以及數量積的運算及計算公式，要求$|\overrightarrow{AP}|$而求${\overrightarrow{AP}}^{2}$的方法．