Question

1．已知f（x）=2ax-$\frac{x}$+lnx在x=1與x=$\frac{1}{2}$處都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若對x∈[$\frac{1}{4}$，1]時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f′（$\frac{1}{2}$），得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=2ax-\frac{x}+lnx$，
∴$f'（x）=2a+\frac{x^2}+\frac{1}{x}$，
∵$f（x）=2ax-\frac{x}+lnx$在x=1與$x=\frac{1}{2}$處都取得極值，
∴f'（1）=0，$f'（\frac{1}{2}）=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+b+1=0\\ 2a+4b+2=0\end{array}\right.$，
即$a=b=-\frac{1}{3}$--------------（7分）
（2）由（1）可知$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，
令$f'（x）=-\frac{2}{3}-\frac{1}{{3{x^2}}}+\frac{1}{x}=-\frac{（2x-1）（x-1）}{{3{x^2}}}=0$，
得x=1或$x=\frac{1}{2}$，
∵$x∈[\frac{1}{4}，1]$，
∴f（x）在$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，在$[\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞增．-------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．