Question

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明的兩步，第一步驗證時，左右兩邊相等；第二步的證明一定要用上歸納假設(shè)，最后要總結(jié)．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1×2=2，右邊=$\frac{1×2×3}{3}$=2=左邊，∴等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，等式成立，
即1×2+2×3+3×4+…+k×（k+1）=$\frac{k（k+1）（k+2）}{3}$．
則當(dāng)n=k+1時，1×2+2×3+3×4+…+k×（k+1）+（k+1）（k+2）=$\frac{k（k+1）（k+2）}{3}$+（k+1）（k+2）=$\frac{（k+1）（k+2）（k+3）}{3}$．
∴n=k+1時，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式對于任意k∈N^*成立．

點評 考查數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，特別是②是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的難點所在，屬基礎(chǔ)題．